Объяснение темы учащимся 11 класса: разъясняем обстоятельно

396

21

676k

1 сентября уже на следующей неделе, так что пора вспоминать все, что было благополучно забыто за лето.

Как репетитор по математике вводит производную?

Можно воспользоваться тем обстоятельством, что современные дети не могут и дня прожить без компьютера. Как правило, в старших классах многие из них уже умеют работать в сложных программах по обработке фотографий /музыки, загружают с сайтов различные электронные карты и, конечно же, умеют растягивать или сжимать изображения в своем планшете / смартфоне. Репетитор по математике, умеющий использовать интересы ребенка во благо обучения, получает очень хороший мотивационный плацдарм для объяснений понятия «касательная».

Я говорю ученику: «Представь себе, что ты сфотографировал график функции или построил его в какой-нибудь программе. Что собой представляет фотография / чертеж в любом цифровом формате? Набор точек определенной плотности и цвета, не более того. Если ты попытаешься увеличить картинку, то объекты станут более крупными, а изгибы линий уйдут за границы экрана, оставляя нам на обозрение только самые ровные кусочки. Можно представить себе результат увеличения, при котором эти кусочки выпрямятся практически до отрезков.

Компьютер не умеет рисовать окружности и показывает вместо них многоугольники с огромным количеством вершин. В масштабе 1:1 любой из них не отличишь от гладкой линии, но когда мы начинаем увеличивать размеры рисунка (во многих программах для этого предусмотрена соответствующая «лупа» или «зуммер»), то замечаем, как «окружность» превращается во множество крошечных отрезков. Нечто подобное происходит и с графиком функции». Репетитор по математике, знакомый с профессиональными чертежными программами, может загрузить ученику какую-нибудь из них, например AUTOCAD, и показать структуру объектов.

На эти отрезки используются репетитором по математике для дальнейших объяснений: «Они оказываются настолько крошечными после сжатия, что мы не можем отличить из от точек. Можно считать, что каждая из них привязана к определенной прямой, проходящей через концы соответствующего точки отрезка. Эта прямая называется касательной к графику, а ее угловой коэффициент называется производной (будем считать, что репетитор по математике повторил тему «угловой коэффициент» на предыдущем уроке). Итак, определения введены!. Остается найти способ вычисления производной по ее аналитическому выражению.

Практика показывает, что ученики лучше усваивают материал именно в такой обертке, так как наблюдения репетитора по математике имеет реальную визуальную основу (пусть даже не совсем точно отражающую понятие «график»).

Если нет под рукой компьютера или ребенок не может представить себе, что линия — это множество крошечных отрезков размеров в точку, репетитор по математике раскрывает смысл касательной немного иначе: «Если увеличивать масштаб рисунка в районе некоторй точки(представим себе компьютер, позволяющий как угодно растягивать чертеж), то с определенного момента мы четко увидим, что график функции практически ничем не будет отличаться от некоторой прямой. Это и есть касательная. На рисунке хорошо заметен отрезок MN — собирающий в себя все общие точки двух линий (хотя в

Чем сильнее окажется увеличение отрезка MN, тем больше будет его длина (в новом масштабе). Но если касательную повернуть хотя бы на миллиардную долю градуса, то, как бы мы не увеличивали размеры чертежа, аналогичного слияния не произойдет. Все равно будет заметен угол между новым положением прямой и «отрезком» графика.

Такой подход особенно полезен репетитору по математике для занятий с очень слабым учеником, на уроке с которым бесполезно вводить точное определение производной. Ему достаточно показать объект, о котором идет речь, и объяснить, как считаются его параметры (в нашем случае угловой коэффициент). Это лучше сделать сразу через табличные производные и правила вычисления (производную суммы, разности, произведения и частного)

Если у Вас не безнадежный случай, то после «визуальных» определений репетитор может передать аналитическому закреплению. Введенного понятия.

Темы школьной программы 11 класс Математика:

Основное свойство первообразной: теорема и наглядные примерыТри правила нахождения первообразных: алгоритм нахождения и примерыФормула Ньютона — Лейбница: примеры вычисления интеграловПрименение интеграла: нахождение объема тела и вычисление центра масс телаИррациональные уравнения: алгоритм решения и примерыСтепень с рациональным показателем: их основные свойстваПоказательная функция: график и основные свойства функцииРешение показательных уравнений и неравенств: алгоритм решения и примерыЛогарифмы и их свойства: определение и алгоритм решенияЛогарифмическая функция: основные свойства и графикиПонятие об обратной функции: график функции и теоремаПроизводная и первообразная показательной функции: число е и примерыПроизводная и первообразная логарифмической функции: примеры и алгоритмПонятие о дифференциальных уравнениях: примеры использования уравнений

Переход репетитора по математике к аналитической форме

Возникает вопрос: как можно вычислить производную (угловой коэффициент касательной) к в точке ? Преподаватель проводит произвольную секущую через точку касания А и получает классический рисунок для данной темы. Он показан выше.

Положение точки B зависит от того, насколько ее абсцисса отклонена от абсциссы точки А. Величину этого отклонения репетитор обозначает привычным знаком . Далее записывается формула для поиска углового коэффициента этой прямой .

Если уменьшать , то точка B будет двигаться в направлении точки A. С какого то момент В окажется в той области точек графика, которая сливается с касательной. И чем меньше ,чем сложнее нам будет развести точки (при увеличении) по разным линиям. Значит, все меньше и меньше будут отличаться угловые коэффициенты прямой АВ и касательной, а поэтому угловой коэффициент касательной и будет тем числом, к которому приближается значение углового коэффициента прямой АВ. Эти рассуждения позволяют репетитору по математике подвести ученика к той мысли, что значение производной – это предел отношения при

Об использовании знака предела.

Математика — очень гармоничный предмет, в котором каждый символ имеет определенный логический смысл или несет какую-то практическую пользу. Удаление его из системы обозначений репетитора, как правило, ничего хорошего не приносит. Это напрямую относится и к знаку предела. Казалось бы, ну что тут такого криминального, репетитор по математике вполне может заменить его фразой «то, к чем стремиться». Но как тогда оформлять вычисления производной по определению? Как и где записывать условие ? Словами? После преобразований дроби , обычно выплывает какое-нибудь простенькое выражение, например . Надо бы поставить знак «равно» и написать , но объекты, которые будут приравниваться друг к другу, формально не сопадают, ибо слева стоит буквенное выражение, а справа число. Можно только указать ответ на другой строчке или направлять к нему стрелку , непривычную для восприятия ответа.

Если бы впереди стоял знак предела, то он был равен . Вроде бы мелочь, но в совокупности эти «мелочи» сказываются не только на формировании определенной математической культуры ведения записей, но и на восприятие логики производимых преобразований и вычислений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Материалы школьной программы по математике за 10 класс

Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspМатериалы школьной программы по русскому языку за 1 класс

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Дивергентное мышление

Весь 11 класс — это тест на дивергентность (способность мыслить одновременно в разных направлениях — Прим.ред.). Нет, не то, что в «Голодных играх». Всё ещё хуже. Или лучше.

Во время последнего года обучения в школе мозг должен перестроиться: быстро думать в стрессовой ситуации и выдавать много решений одной задачи. Нужно жонглировать учёбой, ЕГЭ, репетиторами, личной жизнью и отношениями с родителями.

Я пишу эту статью в библиотеке, потом пойду на русский, после него встречусь со знакомым, съезжу к репетитору, приеду домой и сделаю уроки, напишу пост в блог и лягу спать.

Дивергентность не нужна на ЕГЭ, но нужна, чтобы успевать жить и учиться в 11 классе.

Stay hungry, Stay foolish!

Чтобы подготовка к ЕГЭ в последние месяцы перед экзаменами была максимально эффективной, мы выбрали для вас курсы интенсивной подготовки. Ищите подходящий с помощью удобного сервиса «Курсы „Мела»».

Иллюстрации: iStockphoto (da-vooda)

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:

5 советов, как успешно написать итоговое сочинение

Как не превратить выпускной класс в катастрофу

5 способов избежать стресса перед ЕГЭ

Поделитесь в соц.сетях:

Оцените статью: (Пока оценок нет) Загрузка...

Читайте также:

На что я могу рассчитывать — я мать один... Перепланировка квартиры — в сочи при пок... Некачественная мебель — заказала шкаф вс... Не выдают зарплату — работала неофициаль...